veqtoris koordinatebi

gavixsenoT rom wertilis proeqciis (gegmilis) mosaZebnad RerZze (anu mimarTul wrfeze) am wertilidan RerZze unda davuSvaT perpendikulari da aviRoT dagakveTis wertili .

●

sibrtyeze wertilis proeqcia RerZze.

xolo sivrceSi wertilis RerZze gegmilis sapovnad am wertilze unda gavavloT RerZis perpendikularuli sibrtye;

saZiebeli gegmili am sibrtyis da RerZis gadakveTis wertilia.

sivrceSi

wertilis proeqcia ● AA

ra aris veqtoris gegmili OX RerZze? Aam frazaSi gulisxmoben geometriul an algebrul gegmils (proeqcias).

G veqtoris Ageometriuli proeqcia raime RerZze aris veqtori , sadac A da wertilebi aris A da B wertilebis proeqciebi Sesabamisad. zogjer veqtoris geometriul proeqcias raime RerZze uwodeben am veqtoris komponentas am RerZze.

Aveqtoris algebruli proeqcia aris geometriuli proeqciis (anu veqtoris ) sigrze aRebuli + an – niSniT, imisda mimarTulebas Tu sawinaaRmdegoa.

A

Aanu geometriuli proeqcia veqtoria, algebruli proeqcia ki ricxvi. ra kavSiria maT Soris? Ggeometriuli proeqcia RerZze aris algebruli proeqciis namravli am RerZis mgezavze.

GganvixiloT sakoordinato RerZebi X, Y, Z da maTi Mmgezavebi, (anu erTeulovani veqtorebi) i, j, da k

Z

k

j i X

Y

Aam sakoordinato sivrceSi nebismieri veqtori aris misi geometriuli proeqciebis jami(rogorc am proeqciebze agebuli paralelopipedis diagonali).

Nanu SegviZlia SemovitanoT

GgansazRvreba. veqtoris marTkuTxa koordinatebi ewodeba

am veqtoris algebrul proeqciebs sakoordinato RerZebze.

Tu Aori wertilis koordinatebia A=A(, , ) , AB=B(, , )

MmaSin AAB veqtoris koordinatebia AAB=(-, , -)

anu

AAB= (-) i + ( ) j + (-) k

Esakoordinato RerZebis da Mmgezavebis dafiqsirebiT es gansazRvreba koordinatebs calsaxad unda iZleodes

(anu or sxvadasxva veqtors gansxvavebuli koordinatebi unda hqondes ). amisaTvis qvemoT cota mogvianebiT Cven gansazRvravT Bbaziss.

Oori veqtoris mimarTulebebs Soris kuTxes ewodeba am veqtorebs Soris kuTxe.

ATeorema. a veqtoris algebruli proeqcia l aranulovani veqtoris mimarTulebis RerZe tolia |a| gamravlebuli a da l

veqtorebs Soris kuTxis kosinusze.

DdavamtkicoT Cven TviTon Semdegi naxatis gamoyenebiT.

𝜑

rogorc algebruli ise geometriuli proqciisTvis

gvaqvs Semdegi

Teorema. A a da b veqtorebis jamis proeqcia tolia maTi proeqciebis jamis. λa veqtoris proeqcia tolia λ gamravlebuli a veqtoris proeqciaze.

Ddamtkiceba martivia Semdegi naxatiT (vaCvenoT).

b

a

A ● ● C ● B

veqtorTa wrfivad damokidebuleba da damoukidebloba. B

bazisi .

wina leqciidan viciT wrfivi operaciebi veqtorebze: veqtorebis Sekreba da ricxvis gamravleba veqtorze. Cven gvinda am wrfivi operaciebiT SevadginoT veqtorTa wrfivi kombinacia ase:

vTqvaT , , ...…, raime ricxvebia,

xolo , , ... , veqtorebi, (anu gvaqvs n-cali ricxvi da n-cali veqtori), maSin gamosaxulebas

+ + ... +

Eewodeba , , ... , veqtorebis wrfivi kombinacia koeficientebiT , , ...…,

SeniSvna. Cven jerjerobiT ganvixilavT mxolod wrfeebs,

sibrtyeebs da sivrces, anu n ricxvi toli iqneba 1, 2, an 3.

gansazRvreba. , , ... , veqtorebs ewodeba wrfivad damokidebuli, Tu arsebobs koeficientebi , , ...…, rom + + ... + = 0, amasTan koeficientebidan erTi mainc aranulovania. Tu aseTi koeficientebi ar arsebobs maSin , , ... , veqtorebs ewodeba wrfivad damoukidebeli.

arsebobs veqtorTa wrfivad damokidebulebis kriteriumi:

Teorema . imisaTvis rom , , ... , veqtorebi wrfivad damokidebuli iyos aucilebelia da sakmarisi am veqtorebidan erT-erTi iyos danarCeni veqtorebis wrfivi kombinacia.

damtkiceba. Aucilebloba. gvaqvs

+ + ... + = 0, (1)

da koeficientebidan erT mainc aranulovania. vTqvaT 0,

maSin (1) gavyoT -ze. miviRebT veqtoris gamoaxvas danarCenebiT:

= (- )+… + ().

Eexla sakmarisoba. Ggvaqvs erT-erTi veqtoris gamosaxuleba danarCenebiT, vTqvaT pirveli veqtoris.

= … + . (2)

maSin (2) formula ubralod gadavweroT ase:

_ _… _ .

Anu gvaqvs saZiebeli wrfivi kombinacia, (rogorc formula (1)-Si) sadac =1, = _ , = _ . (ase avR. damtk. bolo)

GTu gavixsenebT wina leqciidan veqtorTa kolinearulobas da komplanarobas maSin geometriuli azri veqtorTa wrfivad damokidebulebisa aris Semdegi:

Teorema. ori veqtori wrfivad damokidebulia maSin da mxolod maSin roca isini kolinearulia.

Teorema. sami veqtori wrfivad damokidebulia maSin da mxolod maSin roca isini komplanarulia.

damtkicebebi martivia, vcadoT damoukideblad.

DDdavubrundeT sakoordinato sivrces OXYZ. maSin sakoordinato RerZebis mgeZavebi(erTeulovani veqtorebi)

gvaZlevs wrfivad damoukidebel sameuls i, j, k ( radgan es veqtorebi arakomplanarulia).

Bsivrcis bazisi ewodeba nebismier arakomplanarul (dalagebul) sameuls.

cxadia arsebobs uamravi bazisi.

i, j, k-s ewodeba standartuli bazisi.

rogorc zemoT vnaxeT sivrcis nebismieri veqtori gamoisaxeba

i, j, k veqtorebis wrfivi kombivaciiT. Ees gamosaxva calsaxaa,

radgan Tu davuSvebT rom raime a veqtorisaTvis gvaqvs ori gansxvavebuli gamosaxuleba

a= i + j +k da

a= i + j +k ,

maSin gamoklebiT gveqneba

0=)i + - ) j +(-)k

anu i, j, k gamova wrfivad damokidebuli, rac mcdaria.

e.i. sivrcis nebismieri veqtori calsaxad gamoisaxeba mocemuli bazisis saSualebiT da gamosaxulebis koeficientebs ewodeba veqtoris koordinatebi am bazisSi.

sibrtyis bazisi aris nebismieri arakolinearuli dalagebuli wyvili. OX da OY sakoordinato RerZebis

mgezavebi qmnian standartul baziss.

wrfis bazisi aris nebismieri aranulovani veqtori. RerZis mgezavi qmnis standartul baziss.

magaliTi. a da b veqtorebi mocmulia koordinatebiT raime bazisSi, a =(1,-2,4) da b=(0,3,5). ipoveT Semdegi veqtorebis koordinatebi igive bazisSi.

a +b=(1+0,-2+3,4+5)=(1,1,9);

λa=(λ, -2λ, 4λ);

2a-5b=(2,-4,8)-(0,15,25)=(2,-19,-33).

magaliTi. a da b veqtorebi mocmulia koordinatebiT i,j,k bazisSi, a =(1,2,3) da b=(4,5,6). ipoveT Semdegi veqtorebis gamosaxuleba (koordinatebi)igive bazisSi.

2a=2(i+2j+3k)=2i+4j+6k; (koordinatebia (2,4,6). )

2a+3b=2(i+2j+3k)+3(4i+5j+6k)=(2+12)i+(4+15)j+(6+18)k=

=14i+19j+24k. (koordinatebia (14,19,24) )